¿Qué es Conceptos Técnicos?

Q: ¿Qué es Conceptos Técnicos?

Álgebra Abstracta es la rama de las matemáticas que estudia las estructuras algebraicas abstractas, proporcionando los fundamentos matemáticos para la criptografía moderna.

Conceptos Técnicos - Comfidentia

Álgebra Abstracta es la rama de las matemáticas que estudia las estructuras algebraicas abstractas, proporcionando los fundamentos matemáticos para la criptografía moderna.

¿Qué es Álgebra Abstracta?

El álgebra abstracta estudia estructuras matemáticas como grupos, anillos, campos y módulos, que son fundamentales para entender los algoritmos criptográficos modernos.

Estructuras Algebraicas Fundamentales

Grupos

Definición: Conjunto con operación binaria asociativa
Propiedades: Cerradura, asociatividad, elemento neutro, inversos
Ejemplos: Enteros con suma, permutaciones
Aplicación: Criptografía de curva elíptica

Anillos

Definición: Conjunto con dos operaciones (suma y multiplicación)
Propiedades: Grupo abeliano bajo suma, semigrupo bajo multiplicación
Ejemplos: Enteros, polinomios
Aplicación: Criptografía basada en retículos

Campos

Definición: Anillo conmutativo donde todo elemento no nulo tiene inverso
Propiedades: Anillo + inversos multiplicativos
Ejemplos: Números racionales, reales, complejos
Aplicación: Criptografía simétrica y asimétrica

Grupos en Criptografía

Grupo Aditivo de Enteros

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class IntegerGroup:
    def __init__(self, modulus):
        self.modulus = modulus
    
    def add(self, a, b):
        """Suma en el grupo de enteros módulo n"""
        return (a + b) % self.modulus
    
    def inverse(self, a):
        """Inverso aditivo"""
        return (-a) % self.modulus
    
    def identity(self):
        """Elemento neutro"""
        return 0

# Ejemplo de uso
group = IntegerGroup(13)
result = group.add(7, 8)  # 7 + 8 mod 13 = 2
inverse = group.inverse(7)  # -7 mod 13 = 6

Grupo Multiplicativo

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class MultiplicativeGroup:
    def __init__(self, modulus):
        self.modulus = modulus
    
    def multiply(self, a, b):
        """Multiplicación en el grupo multiplicativo"""
        return (a * b) % self.modulus
    
    def inverse(self, a):
        """Inverso multiplicativo usando algoritmo de Euclides extendido"""
        def extended_gcd(a, b):
            if a == 0:
                return b, 0, 1
            gcd, x1, y1 = extended_gcd(b % a, a)
            x = y1 - (b // a) * x1
            y = x1
            return gcd, x, y
        
        gcd, x, y = extended_gcd(a, self.modulus)
        if gcd != 1:
            raise ValueError("Elemento no tiene inverso")
        return x % self.modulus
    
    def identity(self):
        """Elemento neutro"""
        return 1

# Ejemplo de uso
group = MultiplicativeGroup(13)
result = group.multiply(7, 8)  # 7 * 8 mod 13 = 4
inverse = group.inverse(7)  # 7^(-1) mod 13 = 2

Campos Finitos

Campo Finito GF(p)

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class FiniteField:
    def __init__(self, prime):
        self.prime = prime
    
    def add(self, a, b):
        """Suma en GF(p)"""
        return (a + b) % self.prime
    
    def multiply(self, a, b):
        """Multiplicación en GF(p)"""
        return (a * b) % self.prime
    
    def inverse(self, a):
        """Inverso multiplicativo en GF(p)"""
        def extended_gcd(a, b):
            if a == 0:
                return b, 0, 1
            gcd, x1, y1 = extended_gcd(b % a, a)
            x = y1 - (b // a) * x1
            y = x1
            return gcd, x, y
        
        gcd, x, y = extended_gcd(a, self.prime)
        if gcd != 1:
            raise ValueError("Elemento no tiene inverso")
        return x % self.prime
    
    def power(self, a, n):
        """Exponenciación en GF(p)"""
        result = 1
        a = a % self.prime
        while n > 0:
            if n % 2 == 1:
                result = (result * a) % self.prime
            n = n >> 1
            a = (a * a) % self.prime
        return result

# Ejemplo de uso
field = FiniteField(13)
result = field.multiply(7, 8)  # 7 * 8 mod 13 = 4
inverse = field.inverse(7)  # 7^(-1) mod 13 = 2
power = field.power(7, 3)  # 7^3 mod 13 = 5

Campo Finito GF(2^n)

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class BinaryField:
    def __init__(self, n, irreducible_poly):
        self.n = n
        self.irreducible_poly = irreducible_poly
        self.field_size = 2 ** n
    
    def add(self, a, b):
        """Suma en GF(2^n) - XOR"""
        return a ^ b
    
    def multiply(self, a, b):
        """Multiplicación en GF(2^n)"""
        result = 0
        for i in range(self.n):
            if b & (1 << i):
                result ^= a << i
        
        # Reducir módulo polinomio irreducible
        return self.reduce(result)
    
    def reduce(self, poly):
        """Reducir polinomio módulo polinomio irreducible"""
        while poly >= self.field_size:
            # Encontrar el bit más alto
            degree = poly.bit_length() - 1
            if degree >= self.n:
                # Restar el polinomio irreducible desplazado
                shift = degree - self.n
                poly ^= self.irreducible_poly << shift
            else:
                break
        return poly

# Ejemplo de uso
field = BinaryField(4, 0x13)  # x^4 + x + 1
result = field.add(0b1011, 0b1101)  # 0b0110
product = field.multiply(0b1011, 0b1101)  # 0b1001

Curvas Elípticas

Grupo de Curva Elíptica

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class EllipticCurve:
    def __init__(self, a, b, p):
        self.a = a
        self.b = b
        self.p = p
    
    def point_add(self, P, Q):
        """Suma de puntos en curva elíptica"""
        if P is None:
            return Q
        if Q is None:
            return P
        if P[0] == Q[0] and P[1] != Q[1]:
            return None  # Punto en el infinito
        
        if P == Q:
            # Duplicación de punto
            if P[1] == 0:
                return None
            s = (3 * P[0] * P[0] + self.a) * pow(2 * P[1], -1, self.p) % self.p
        else:
            # Suma de puntos diferentes
            s = (Q[1] - P[1]) * pow(Q[0] - P[0], -1, self.p) % self.p
        
        x3 = (s * s - P[0] - Q[0]) % self.p
        y3 = (s * (P[0] - x3) - P[1]) % self.p
        return (x3, y3)
    
    def point_multiply(self, k, P):
        """Multiplicación escalar k * P"""
        if k == 0:
            return None
        if k == 1:
            return P
        
        result = None
        addend = P
        
        while k:
            if k & 1:
                result = self.point_add(result, addend)
            addend = self.point_add(addend, addend)
            k >>= 1
        
        return result

# Ejemplo de uso
curve = EllipticCurve(2, 3, 97)  # y^2 = x^3 + 2x + 3 mod 97
P = (17, 10)
Q = (95, 31)
R = curve.point_add(P, Q)
kP = curve.point_multiply(5, P)

Anillos de Polinomios

Anillo de Polinomios

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class PolynomialRing:
    def __init__(self, field):
        self.field = field
    
    def add(self, p, q):
        """Suma de polinomios"""
        max_len = max(len(p), len(q))
        result = [0] * max_len
        
        for i in range(max_len):
            a = p[i] if i < len(p) else 0
            b = q[i] if i < len(q) else 0
            result[i] = self.field.add(a, b)
        
        return self.trim(result)
    
    def multiply(self, p, q):
        """Multiplicación de polinomios"""
        if not p or not q:
            return []
        
        result = [0] * (len(p) + len(q) - 1)
        
        for i in range(len(p)):
            for j in range(len(q)):
                result[i + j] = self.field.add(
                    result[i + j],
                    self.field.multiply(p[i], q[j])
                )
        
        return self.trim(result)
    
    def trim(self, poly):
        """Eliminar coeficientes cero al final"""
        while poly and poly[-1] == 0:
            poly.pop()
        return poly

# Ejemplo de uso
field = FiniteField(13)
ring = PolynomialRing(field)
p = [1, 2, 3]  # 1 + 2x + 3x^2
q = [4, 5]     # 4 + 5x
sum_poly = ring.add(p, q)  # 5 + 7x + 3x^2
product = ring.multiply(p, q)  # 4 + 13x + 22x^2 + 15x^3

Aplicaciones en Criptografía

RSA

Anillo: Anillo de enteros módulo n
Operación: Exponenciación modular
Seguridad: Dificultad de factorización
Implementación: Campos finitos

ECC

Grupo: Grupo de curva elíptica
Operación: Suma de puntos
Seguridad: Problema del logaritmo discreto
Implementación: Campos finitos

AES

Campo: GF(2^8)
Operación: Multiplicación en campo finito
Seguridad: Confusión y difusión
Implementación: Campos binarios

Herramientas Computacionales

SageMath

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# Ejemplo con SageMath
# Definir campo finito
F = GF(13)
a = F(7)
b = F(8)
print(a + b)  # 2
print(a * b)  # 4
print(a^(-1))  # 2

# Definir curva elíptica
E = EllipticCurve(GF(97), [2, 3])
P = E(17, 10)
Q = E(95, 31)
R = P + Q
kP = 5 * P

SymPy

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from sympy import *
from sympy.polys.domains import FF

# Definir campo finito
F = FF(13)
x = symbols('x')
p = Poly(x**2 + 2*x + 3, domain=F)
q = Poly(x + 4, domain=F)
result = p + q

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